1.6. Уравнения сильного разрыва и граничные условия

В приложениях возникает необходимость в изучении классов движений, более широких по сравнению с классом непрерывных решений.

Следуя [3], наряду с $n$-мерным пространством $R^n(x_1,\ldots\,x_n)$ введем в рассмотрение гиперпространство $R^{n+1}(x_0,x_1,\ldots,x_n)$, где $x_0$ -- произведение $v_0\,t$, $v_0={\lf {const}}$. Если в области движения существует некоторая гиперповерхность $\Gamma^*\subset R^{n+1}$, на которой допускается скачкообразное изменение функций (разрывы первого рода), а вне которой эти функции непрерывны, то такое движение называется движением с сильными разрывами. Сечение $B(t)$ гиперповерхности $\Gamma^*$ гиперплоскостями $x_0={\lf {const}}$ ( $t={\lf {const}}$) называется поверхностью сильного разрыва. Такое определение поверхности сильного разрыва в гиперпространстве $R^{n+1}$ обусловлено тем обстоятельством, что она определена для момента времени $t$. Оказывается, что величины разрывов функций не могут быть произвольными, а удовлетворяют некоторым соотношениям.

Уравнения сильного разрыва. Выведем соотношения на поверхности сильного разрыва (ср. [7], т. II]). Для этого вместо объемов $\omega$ и $d\omega$ в пространстве $R^n$ введем объем $\Omega$ и элементарный объем $d\Omega=d\omega dx_0$ ( $dx_0={v_0}dt v_0={\lf {const}}$) в гиперпространстве $R^{n+1}$. Тогда интегрирование (14) по $x_0$ (по времени) приводит к уравнению

$$\int_{\Omega} \biggl\{\x {x_i}\,\Bigl(\varphi v_i- \sigma_i\Bigr)-g\biggr\}\,d\Omega=0$$ (21)

( $\sigma_0=0$ $i=\overline{0,n}$).

Пусть $\Sigma$ -- поверхность, ограничивающая $(n+1)$-мерный объем $\Omega$; $\bnu$ -- орт внешней нормали к $\Sigma$; $\vec e_0$ -- единичный вектор ортогональный гиперплоскости $x_0={\lf {const}}$; $\vec n$ -- единичный вектор внешней нормали к поверхности $S$, ограничивающей объем $\omega$ и являющейся сечением гиперповерхности $\Sigma$ гиперплоскостью $x_0={\lf {const}}$. Для $\bnu$ имеют место соотношения

$$\bnu =\vec e_0\cos(\widehat{\bnu ,\vec e}_0)+ \vec n\sin(\widehat{\bnu ,\vec e}_0),\qquad \bnu \cdot\vec n=\sin(\widehat{\bnu ,\vec e}_0),$$ (22)

поскольку в новом пространстве $\vec e_0\perp\vec n$. Согласно же формуле Гаусса--Остроградского и формуле Коши

$$\int_{\Omega} \x {x_i}\Bigl(\varphi v_i\Bigr)d\Omega= \int_{\Sigma} \varphi v_i\cos(\widehat{\bnu ,\vec e}_i)d\Sigma,\qquad i=\overline{0,n},$$

$$\int_{\Omega} {\partial\sigma_i\over\partial {x_i}}d\Omega= \int_... ...gma_i\cos(\widehat{\bnu ,\vec e}_i)d\Sigma, \qquad\qquad\quad\i=\overline{1,n}.$$

Поэтому закон сохранения (21) записывается в виде

$$\int_{\Sigma} \biggl({\varphi \Bigl(v_0\cos(\widehat{\bnu ,\vec e... ...\vec e}_i)}\biggr)d\Sigma= \int_{\Omega} gd\Omega,\qquad\quad i=\overline{1,n}.$$ (23)

Установим связь между направляющими косинусами нормалей $\bnu$ и $\vec n$ к поверхности $\Sigma$ при $i\neq 0$. Уравнение этой поверхности определяется функцией, зависящей от времени и от $\vec x\in R^n$. В пространстве $R^{n+1}$ -- это уравнение ${\cal F}(x_0,\vec x)=0$, где $\vec x\in R^n$. Из курса дифференциальной геометрии известно, что

$$\cos(\widehat{\bnu ,\vec e}_i)={1\over\delta_{n+1}}{\partial{\cal... ...partial{\cal F}\over\partial x_0 }\Bigr)^2+ \delta^2_n},\quad i=\overline{0,n},$$

$$\cos(\widehat{\vec n,\vec e}_i)={1\over\delta_n}{\partial{\cal F}... ...=1}\Bigl({\partial{\cal F}\over\partial x_i}\Bigr)^2}, \qquad i=\overline{1,n}.$$

Отсюда при $i=\overline{1,n}$ следует соотношение

$$\frac{\cos(\widehat{\bnu ,{\vec e}_i})}{\cos(\widehat{\vec n,{\ve... ...\sqrt {1-\cos^2(\widehat{\bnu ,{\vec e}_0})}= \sin(\widehat{\bnu ,{\vec e}_0}),$$ (24)

которое согласуется с (22). Применение формулы Коши и связи (24) позволяет закон (23) преобразовать к виду

$$\int_{\Sigma}\biggl(\varphi\Bigl(v_0\cos(\widehat{\bnu ,\vec e}_0... ...a_{\vec n}\sin(\widehat{\bnu ,\vec e}_0)\biggr)d\Sigma= \int_{\Omega} gd\Omega,$$ (25)

$$v_{\vec n}=\vec v\cdot\vec n,\quad \sigma_{\vec n}=\sigma_i\cos(\widehat{\vec n,\vec e}_i),\quad i=\overline{1,n}.$$

В качестве поверхности $S$, ограничивающей объем $\omega$, рассматривается окрестность поверхности разрыва $F(t,\vec x)=0$. Поэтому в качестве гиперповерхности $\Sigma$, ограничивающей объем $\Omega$ в пространстве $R^{n+1}$, рассматривается окрестность поверхности

$${\cal F}(x_0,\vec x\in R^n)={\cal F}(\vec x\in R^{n+1})=0 \iff F(t,\vec x\in R^n)=0,$$

являющейся записью уравнения поверхности разрыва в гиперпространстве $R^{n+1}$.

Выразим первый член в круглых скобках уравнения (25) через скорость перемещения $D_{\vec n}$ поверхности сильного разрыва. Для этого продифференцируем уравнение ${\cal F}(x_0,\vec x)=0$ по времени вдоль поверхности разрыва. Для ее точек имеем

$$v_0{\frac{\partial{\cal F}}{\partial x_0}}+ \frac{\partial{\cal F... ...c{dx_i}{dt}=D_{\vec n}\cos(\widehat{\vec n,{\vec e}_i}),\quad i=\overline{1,n}.$$

В результате деления первого соотношения на $\delta_{n+1}$ получаем

$$v_0\cos(\widehat{\bnu ,\vec e}_0)+ D_{\vec n}\cos(\widehat{\bnu ,\vec e}_i)\cos(\widehat{\vec n,\vec e}_i)= 0.$$

Это равенство, учитывая (24) и то, что сумма квадратов направляющих косинусов нормали $\vec n$ равна единице, можно записать в форме

$$v_0\cos(\widehat{\bnu ,\vec e}_0)+ D_{\vec n}\sin(\widehat{\bnu ,\vec e}_0)=0.$$

Подстановка его в (25) приводит к уравнению

$$\int_{\Sigma}\Bigl(\bigl(\vartheta\varphi+ \sigma_{\vec n}\bigr)\sin(\widehat{\bnu ,\vec e}_0)\Bigr)d\Sigma= -\int_{\Omega} gd\Omega,$$ (26)

$$\vartheta=D_{\vec n}-v_{\vec n}.$$

Величина $\vartheta$ носит название скорости распространения поверхности сильного разрыва $B(t)$. Скорость $D_{\vec n}$ направлена по нормали к $B(t)$ и вычисляется по формулам

$$D_{\vec n}=-{1\over \vert\nabla_n F\vert}{\partial F\over\partial... ...vert= \sqrt {\sum^n_{i=1}\Bigl({\partial F\over\partial x_i}\Bigr)^2}=\delta_n.$$

Поверхность сильного разрыва делит объем $\Omega$ на две части: ${\cal F}(x_0,\vec x\in R^{n})>0$ и ${\cal F}(x_0,\vec x\in R^{n})<0$, к каждой из которых можно применить принцип универсальности. Значение любого параметра $A$ в первой области обозначим через $A^{+}$, а его значение во второй области -- через $A^{-}$. Поскольку нормаль $\vec n$ -- внешняя нормаль к $B(t)$, то интеграл по поверхности $\Sigma$ представим в виде разности интегралов по поверхностям $\Sigma^+$ и $\Sigma^-$ с общей границей ${\cal F}(\vec x\in R^{n+1})=0$. Так же, как это делается в курсах газодинамики, можно показать, что правая часть уравнения (26) мала (порядка толщины области разрыва) по сравнению с его левой частью, если плотность объемного источника $g$ слабо изменяется при переходе через $B(t)$. Тогда, применяя принцип универсальности к каждой области, выделенной внутри $\Omega$, и учитывая, что $\sin(\widehat{\bnu ,\vec e}_0)\neq 0$ на $B(t)$ (в силу произвольности формы поверхности разрыва), из (26) получим уравнение

$$\bigl[\vartheta\varphi+\sigma_{\vec n}\bigr]=0,$$ (27)

$$\bigl[A\bigr]=A^{+}-A^{-}.$$

Это векторное уравнение или эквивалентная ему система скалярных уравнений, выражающих математическую запись законов сохранения на поверхности разрыва, носят название уравнений сильного разрыва или условий динамической совместности. Они справедливы на любом конечном числе поверхностей сильного разрыва (разрывах первого рода).

Если скорость распространения поверхности сильного разрыва $\vartheta=0$, то поверхность разрыва называется стационарной.

Если при переходе через поверхность разрыва $B(t)$ величина $A$ непрерывна, но производная от нее по координате или времени претерпевает разрыв, то такая поверхность называется поверхностью слабого разрыва.

Граничные условия. Перейдем к записи общего вида граничных условий [25,26], которым должны удовлетворять уравнения (15). В силу приближенного характера любых уравнений, выражающих собой законы сохранения, они, вообще говоря, не могут быть справедливыми во всем пространстве индивидуальных переменных $\vec x\in R^n$. В узкой области вблизи границ задания этих переменных применимость (15) нарушается. При этом из-за малости толщины такого слоя градиенты свойств $\varphi (\vec x,t)$ поперек него резко изменяются по сравнению с продольными градиентами. В этом случае для получения граничных условий можно воспользоваться схемой, которая применялась в предыдущем разделе при выводе условий динамической совместности.

Очевидно, что в рассматриваемом случае поверхность $\Sigma$ и объем $\Omega$, по которым в (25) производится интегрирование, включают и тонкие пограничные слои. Повторение выкладок снова приводит к результату (27). Отличие заключается в том, что поток $\sigma_{\vec n}$ может быть дифференциальным оператором или функционалом, уравнением $F(t,\vec x)=0$ является уравнение подвижной границы (например, тела, поверхности раздела и т.д.), а скоростью $D_{\vec n}$ -- скорость движения границы.

При $\vartheta=0$ аналог граничных условий (27) соответствует условиям на свободных поверхностях и на любых поверхностях раздела сред.

Если $\sigma_{\vec n}$ -- дифференциальный оператор, то аналог условий (27) представляет собой, так называемые, граничные условия скольжения или смешанные граничные условия. Так, при

$$\varphi=\varrho\vec v,\qquad \varrho^{+}\vartheta^{+}= \varrho^{-... ...\sqrt\pi}}{\frac{p}{a}},\qquad \vec v^{-}={\vec0},\qquad \sigma^{+}_{\vec n}=0,$$

$$a=\sqrt{\frac{2 \kb T}{m_{\lf g}}},\qquad \sigma^{-}_{in}=\frac{2... ...tial v_i}{\partial n}+ \frac{\partial v_n}{\partial x_i}\Bigr), \qquad i\neq n,$$

($\kb$ -- постоянная Больцмана; $m_{\lf g}$ -- масса молекулы газа; $\alpha_t$ -- коэффициент аккомодации касательного импульса; $\mu$ -- коэффициент сдвиговой вязкости газа; $\vec v$ -- его среднемассовая скорость) из (27) получаются выражения

$$v_i=\frac{\sqrt\pi}{2}\frac{2-\alpha_t}{\alpha_t} \frac{\mu a}{p}\Bigl(\frac{\partial v_i}{\partial n}+ o(1)\Bigr),\qquad i\neq n,$$ (28)

которые хорошо известны из кинетической теории газов. В частном случае $\sigma^{-}_{\vec n}=0$ условия (28) переходят в граничные условия прилипания. Если же $\sigma_{\vec n}$ -- функционал, то аналог условий (27) -- нелокальные граничные условия.

Эти типы граничных условий, имеющих смысл условий динамической совместности, нашли применение в динамике разреженных газов и в теории газовзвесей. При изложенном здесь взгляде на граничные условия следует в качестве поверхностей "разрыва" брать пограничный слой Прандтля для уравнений Эйлера, пограничный слой Барнетта для уравненй Навье--Стокса и т.д. вплоть до пограничного слоя Кнудсена. Аналогичным образом в зависимости от способа описания структуры ударной волны определяется ее толщина.