1.4. Уровень континуальных систем

Это более сложный и более детальный уровень описания, чем первый. Его отнесем ко второму уровню описания на основе методологии законов сохранения.

Число элементов системы предполагается настолько большим, что индивидуальные признаки $\vec x$ принимают любые значения из интервала определения функции $\varphi (\vec x,t)$, а сами свойства элемента системы -- все значения из интервала их допустимых значений. Это предположение эквивалентно гипотезе физически бесконечно малого фазового объема. Воздействия $F$ непрерывно изменяются в пределах допустимых интервалов. Все искомые функции являются непрерывными и удовлетворяют требованиям достаточной гладкости. В рассматриваемом случае (так как функции непрерывны и изменяются на всем интервале)

$$\Phi=\int_{\omega} \varphi\,d\omega,$$ (7)

здесь $\omega (t)$ -- некоторый произвольно выделенный объем в пространстве переменных $\vec x$, состоящий при всех $t$ из одних и тех же признаков и ограниченный поверхностью $S$, а $\varphi$ -- плотность распределения исследуемого свойства среды.

Как уже отмечалось в §1.1, и в рассматриваемом случае закон сохранения записывается в виде (4). Однако при исследовании непрерывных систем воздействие $F$ удобно разделить на две категории:

1) объемные воздействия, приложенные к каждому элементу системы (элементарному объему $d\omega\subset\omega(t)$) и определяемые объемной плотностью $g$ в $n$-мерном пространстве;

2) поверхностные воздействия, передающиеся через элемент $dS$ поверхности $S=\partial\omega$, ограничивающей объем $\omega (t)$, которые задаются поверхностной плотностью $\sigma_{\vec n}$, где $\vec n$ -- внешняя нормаль к указанной поверхности.

С учетом сказанного для непрерывных неоднородных систем воздействия $F$ можно записать в форме

$$F=\,G\,+\,\Sigma,$$ (8)

$$G=\int_{\omega} g\,d\omega,\qquad \Sigma=\int_{S} \sigma_{\vec n}\,dS.$$ (9)

В силу (7)- (9) из (4) получаем

$$\frac{d}{dt}\,\int_{\omega} {\varphi}\,d\omega= \int_{\omega} {g}\,d\omega+\int_{S} {\sigma_{\vec n}}\,dS.$$ (10)

Объемную плотность $g$ можно представить в виде

$$g=g^{\,+}\,-\,g^{\,-}.$$

Так как поверхностная плотность зависит от ориентации площадки, то в каждой точке внутри выделенного объема $\omega$ величина $\sigma_{\vec n}$ принимает бесконечное число значений, ибо там можно выделить некоторый достаточно малый объем с произвольной ориентацией нормали к поверхности, его ограничивающей. Однако на заданной поверхности $S=\partial\omega$ величина $\sigma_{\vec n}$ определена однозначно.

Учтем, что в $n$-мерном евклидовом пространстве справедливы формула Коши:

$$\sigma_{\vec n}=\alpha_i\sigma_i,\qquad \alpha_i=\cos\,(\widehat {\vec n,\vec e}_i)=\vec n\cdot\vec e_i$$ (11)

($\sigma_i$ -- проекция величины $\sigma$ (векторной или тензорной) на оси $x_i$; $\vec e_i$ -- координатные орты) и формула Гаусса--Остроградского ¹:

$$\int_{S} a_{\vec n}\,dS=\int_{S} \vec a\cdot\vec n\,dS= \int_{\om... ... \dv {\vec a}\,d\omega= \int_{\omega} {\partial a_i\over\partial x_i}\,d\omega.$$ (12)

В формулах (11), (12) и далее, если не оговорено особо, используется тензорное правило суммирования по повторяющимся индексам. Кроме того, для $n$-мерного пространства справедлива формула дифференцирования

$$\frac{d}{dt}\,\int_{\omega} \varphi\,d\omega= \int_{\omega} \bigg... ...varphi+ \x {x_i}\,\bigl(\varphi v_i\bigr)\biggr\}\,d\omega,\qquad v_i=\dot x_i,$$ (13)

доказательство которой для трехмерного случая можно найти в курсах гидроаэромеханики. Точка сверху означает дифференцирование по времени вдоль траектории в $n$-мерном пространстве. Тогда формулу (10) с учетом (11)-(13) можно преобразовать к виду

$$\int_{\omega} \biggl\{\x t\,\varphi+ \x {x_i}\,\Bigl(\varphi v_i-\sigma_i\Bigr)-g\biggr\}\,d\omega=0,$$ (14)

если $\varphi$, $\vec v=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ и $\sigma_i$ обладают достаточной гладкостью, а область $\omega$ односвязна.

Для получения дифференциальной формы закона сохранения воспользуемся так называемым принципом универсальности:

Если закон сохранения справедлив для произвольного $n$-мерного объема $\omega$, то он справедлив и для любой его части.

При выводе уравнения (14) нигде не указывалась конкретная форма и размеры объема $\omega$. В этом отношении можно говорить о справедливости закона сохранения для произвольного объема. Тогда, исходя из принципа универсальности, можно утверждать и его справедливость для объема, стягиваемого в точку, т.е. для физически бесконечно малого объема. Применяя в последнем случае теорему о среднем, из (14) получим уравнение

$$\x t\,\varphi+ \x {x_i}\,\Bigl(\varphi v_i-\sigma_i\Bigr)=g,\qquad \sigma_i=\vec e_i\cdot\sigma,$$ (15)

которое называют дифференциальной формой закона сохранения, записанного в дивергентном виде. Здесь $\sigma$ -- векторная или тензорная величина.

В рамках методологии законов сохранения $\varphi$, $\sigma$ и $g$ расшифровываются на основании априорных соображений или более общих моделей (например, стохастических). Если $\sigma_i$ и $g$ суть дифференциальные операторы или функции, то (15) -- дифференциальное уравнение в частных производных (в общем случае векторное). Если же $\sigma_i$ и (или) $g$ суть функционалы, то (15) -- нелокальное или интегродифференциальное уравнение.