1.3. Уровень однородных систем

По степени сложности и детальности описания системы можно разделить на три уровня. К первому отнесем уровень однородных систем.

Исследуемый объект относится к классу однородных систем, если уравнение или система уравнений вида (4), эквивалентная векторному закону сохранения, не содержит зависимости от индивидуальных переменных $\vec x$. При этом объект может быть как дискретной системой, так и непрерывной средой. В таком частном случае (4) сохраняет свой вид:

$$\frac{d}{dt}\,\Phi=F,$$ (6)

но воздействие $F$ -- заданные функция или функционал, которые не зависят от $\vec x$.

Если рассматривается сплошная среда, то независимость признака $\Phi$ и воздействия $F$ от $\vec x$ очевидна. Однородный уровень описания такой среды соответствует описанию с помощью ее сглаженных (интегральных) характертстик.

Если же исследуется дискретная среда, то независимость $F$ и $\Phi$ от переменной, описывающей индивидуальные признаки элементов системы, возможна при независимости от $\vec x$ самих свойств $\varphi_k$ этих элементов.

В случае, когда $F$ является функцией от $\varphi_k (t)$ или $\varphi$, уравнение (6) превращается, как правило, в систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для численного решения таких систем существует обширная библиотека стандартных программ. Это самый простой уровень описания. Задание воздействия $F$ в виде функционала сводит (6) к системе интегродифференциальных уравнений (возможно содержащих временные сдвиги). Теорию решения таких уравнений нельзя считать полностью разработанной. Однако уровень описания реальных явлений и процессов на основе однородных систем можно все же отнести к низшему (первому) уровню методологии законов сохранения, который широко распространен в инженерных и технологических приложениях: например, в инженерных приложениях теории псевдоожиженного слоя.

Из сказанного следует, что основной проблемой при построении однородных математических моделей естествознания является задание на основе априрорных соображений зависимости воздействия $F$ от $\varphi_k (t)$ (или $\varphi$) и времени $t$.