1.5. Уровень стохастических систем

Это самый сложный и самый детальный уровень описания из рассматриваемых в книге. Его отнесем к третьему уровню описания на основе методологии законов сохранения.

В предыдущих двух параграфах рассматривались детерминистские параметрические модели, т.е. модели, с помощью которых предсказываемые значения могут быть вычислены точно. Но это не всегда возможно. Например, нельзя указать точное число молекул воздуха в его 1 см$^3$, имеющих данную (фиксированную) скорость. Можно говорить лишь о вероятности обнаружения молекул со значениями скоростей из некоторого интервала или о математическом ожидании числа таких молекул. Это пример стохастической системы.

Стохастические модели -- это модели стохастических систем, в которых предсказываемые значения зависят от распределения вероятностей.

Стохастическое (вероятностное) описание представительно, если система обладает большим числом дискретных элементов. Это означает, что при стохастическом описании мы имеем дело с некоторым ансамблем. Каждый элемент характеризуется вектором $\vec x$ (вообще говоря, многомерным) индивидуальных признаков. В дальнейшем элементы системы для краткости иногда будем называть частицами.

Вероятности распределения элементов по индивидуальным признакам характеризуются функциями распределения $\varphi$, под которыми будем понимать плотности математического ожидания числа частиц со значениями индивидуальных признаков из промежутка $[{\vec x},{\vec x}+d{\vec x}]$. Это означает, что величина

$$dn=\varphi ({\vec x},t)\,d{\vec x},\qquad d{\vec x}= dx_1dx_2\ldots dx_s,\qquad s=\overline{1,m},$$

дает математическое ожидание числа частиц в элементе $d\vec x$ вблизи точки $\vec x$ $s$-мерного пространства в момент времени $t$.

Если в фазовом объеме $\omega$ заключено $N$ частиц, то распределение их полного числа по индивидуальным признакам дается $N$-частичной функцией распределения $\varphi^{(N)}({\vec x}^{(N)},t)$, $m\leq n N$.

Если на рассматриваемых пространственных масштабах наблюдается корреляция только $s$ частиц ($s<N$), то распределение элементов системы описывается $s$-частичными редуцированными функциями распределения:

$$\varphi^{(s)}({\vec x}^{(s)},t)= \varphi^{(1)}({\vec x}^{(1)}_1,t... ...i^{(1)}({\vec x}^{(1)}_2,t)\dots \varphi^{(1)}({\vec x}^{(1)}_s,t)\,\chi^{(s)}.$$ (16)

Множитель $\chi^{(s)}$ в (16) носит название $s$-частичной корреляционной функции. Он равен единице для независимых (некоррелированных) событий. Корреляции более $s$ элементов возможны в очень малой области, образуемой частицами, которую по аналогии с газом или газовзвесью будем называть областью соударения (областью удара). Функции $\varphi^{(1)}({\vec x}^{(1)}_s,t)$ носят название одночастичных функций распределения. В большинстве практически важных ситуаций ими можно ограничится при построении стохастических моделей естествознания.

Как правило, рассматриваемая система (ансамбль) подразделяется на $R$ качественно различных подсистем, содержащих большое число элементов. Например, молекулы воздуха различаются по химическому сорту, приземный слой атмосферы состоит из молекул газа и взвешенных твердых или жидких частиц, а особи различаются по цвету глаз. В этом случае удобно ввести набор функций распределения $\varphi_{\alpha}({\vec x}_{\alpha},t)$, $\alpha=\overline{1,R}$, рассматривая $\varphi ({\vec x},t)$ как матрицу-столбец. Набор индивидуальных признаков ${\vec x}_{\alpha}$ может быть различным для разных подсистем. Так, точечные молекулы газа, характеризуются положением их центров масс и поступательными (линейными) скоростями, а взвешенные шероховатые нагревающиеся и сорбирующие твердые частицы -- положением их центров масс, поступательными и угловыми скоростями, температурами частиц и массами сортов сорбированного ими газа.Под функциями $\varphi_{\alpha}({\vec x}_{\alpha},t)$ подразумеваются $s$-частичные функции распределения. В том числе и одночастичные ($s=1$).

Дискретные индивидуальные признаки рационально отнести к определяющим выбор подсистемы, т.е. с их помощью можно расширить набор индексов $\alpha$, как это делается в кинетической теории колебательно неравновесного газа. Тогда стохастическую систему можно будет рассматривать как непрерывную неоднородную систему с функцией $\varphi ({\vec x},t)$, являющейся матрицей-столбцом.

Из сказанного следует, что функции распределения сводят реальную дискретную стохастическую систему к непрерывной стохастической системе. Примером изначально непрерывной стохастической среды служит турбулентное течение газа или жидкости.

Обычно при построении стохастических моделей пренебрегают переносом числа элементов системы через поверхность $S$, ограничивающую фазовый объем $\omega$, по сравнению с числом элементов, находящихся внутри объема $\omega$. В этом случае $\sigma_i=0$, и математическая модель стохастической системы примет вид

$$\x t \varphi_{\alpha}+ \x {x_i}\bigl(\varphi_{\alpha}\dot {x}_i\bigr)= g^{+}_{\alpha}-g^{-}_{\alpha},$$ (17)

$$\dot {x_i}=f_i({\vec x},\dot {{\vec x}},t,\varphi).$$ (18)

Точка сверху, как и раньше, означает дифференцирование по времени вдоль "фазовой траектории", ${\vec x}=\{{\vec x}_1,{\vec x}_2,\ldots,{\vec x}_R\}$. Фазовые переменные ${\vec x}_{\alpha}$ можно разделить на две группы: случайные кординаты $\vec r_{\alpha}$ и другие случайные переменные ${\vec y}_{\alpha}$ (например, случайные поступательные и угловые скорости, случайные температуры и т.д.). При этом ${\vec x}_{\alpha}=\{\vec r_{\alpha},{\vec y}_{\alpha}\}$, а система уравнений (18) представима в форме

$$\dot {\vec r}_{\alpha}=\vec v_{\alpha},$$ (19)

$$\dot {\vec y}_{\alpha}=\vec f_{\alpha}({\vec x},\dot {{\vec x}},t,\varphi).$$ (20)

Тогда уравнения (19) имеют смысл случайных скоростей, а уравнения (20) -- аналогов "микродинамических" уравнений Ньютона, Ланжевена или еще более общих.

Если $\varphi_{\alpha}$ - одно-, двух- или трехчастичные функции распределения, то подходящим выбором параметров $\vec x$, $\dot {\vec x}$, $g^{+}_{\alpha}$ и $g^{-}_{\alpha}$ из уравнений (17) и (18) можно получить известные кинетические модели разреженного и плотного газа, газовзвесей и стохастические биологические модели.

Сокращение статистического описания, соответствующее осредненному описанию на уровне "микроскопических" законов сохранения, позволяет перейти от стохастического описания с помощью модели (17) ко второму уровню описания -- уровню непрерывных неоднородных систем. Эта возможность будет прослежена позже (в гл. 2-5). Осреднение стохастических и континуальных уравнений по всем значениям непрерывных индивидуальных переменных $\vec x$ приводит к первому уровню описания.