Региональная олимпиада по математике математико-механического факультета, 21 апреля 2002 года

Вариант 1

1. а) Найдите все натуральные решения уравнения
   

б) Сколько существует различных непрерывных на R функций, графики которых лежат в объединении прямых
 ?
в) В выпуклом четырехугольнике ABCD известны площади треугольников: 
и 
(O- точка пересечения диагоналей). Докажите, что площадь этого четырехугольника не меньше 36.
г) Обозначим через d(M) расстояние от произвольной точки M пространства до самой удаленной от нее вершины пирамиды, в основании которой лежит равносторонний треугольник со стороной , а боковые ребра равны 0,9. Найдите наименьшее возможное значение d(M).
2. а) Решите уравнение


б) Решите неравенство

в) Сколько решений в зависимости от  a имеет система:

г) Найдите все значения a, при которых множество на координатной плоскости, заданное уравнением
,
является четырехугольником.
3. Найдите наибольшее возможное значение суммы косинусов углов

а) равнобедренного треугольника;
б) произвольного треугольника.

Вариант 2

1. а) Найдите все натуральные решения уравнения
   

б) Сколько существует различных непрерывных на R функций, графики которых лежат в объединении прямых
?
в) В выпуклом четырехугольнике ABCD известны площади треугольников:
  и 
(O - точка пересечения диагоналей). Докажите, что площадь этого четырехугольника не меньше 25.
г) Обозначим через d(M) расстояние от произвольной точки M пространства до самой удаленной от нее вершины пирамиды, в основании которой лежит равносторонний треугольник со стороной  , а боковые ребра равны 1,2. Найдите наименьшее возможное значение d(M).
2. а) Решите уравнение


б) Решите неравенство

в) Сколько решений в зависимости от  b имеет система:

г) Найдите все значения a, при которых множество на координатной плоскости, заданное уравнением
,
является четырехугольником.
3. Найдите наибольшее возможное значение произведения косинусов углов

а) равнобедренного треугольника;
б) произвольного треугольника.