Задачи ежегодной городской олимпиады по математике для школьников (22.04.2001).

Первый вариант

  1. а) Сколько существует треугольников с целочисленными сторонами периметра 40?

    2. б) Докажите, что уравнение p(x) + p(x+1) +  .. +  p(x+2000) = 0 имеет решение, если известно, что разность корней квадратного трехчлена .

    в) Точки A1, B1, C1 лежат соответственно на сторонах BC, AC и AB треугольника площади S.
    Пусть S1, S2, S3 - площади треугольников AB1C1, BA1C1, CA1B1. Докажите, что

    г) Найдите отношение объема треугольной пирамиды к объему пирамиды, вершинами которой являются точки пересечения медиан граней исходной пирамиды.
     

  2. а) Решите систему

    3. б) Изобразите на плоскости множество всех точек с координатами (p, q), таких что уравнение
    x2+ pq + q = 0 имеет хотя бы один корень на интервале (-p, p).
    в) Найдите все a, при которых уравнение

    имеет решение.

    г) Какое наибольшее число решений может иметь система

     

  3. Известно, что


    4. а) Докажите, что функция f - периодическая;

    б) Может ли она быть непрерывной на всей числовой оси?

Второй вариант

  1. а) Сколько существует треугольников с целочисленными сторонами периметра 43?

    2.  
    б) Пусть p(x) - квадратный трехчлен. Докажите, что найдется такое натуральное число k, что уравнение
    p(x) + p(x+1) +  ... +  p(x+k) = 0 не имеет решений.

    в) Через некоторую точку внутри треугольника площади S проведены прямые, параллельные его сторонам.
    Пусть S1, S2, S3 - площади треугольников, отсекаемых этими прямыми. Докажите, что

    г) Пусть в пространстве имеется точка P, координаты которой положительны. Обозначим через A, B и C точки пересечения плоскости, проходящей через точку P с положительными лучами на осях координат. Докажите, что среди всех треугольных пирамид OABC (O - начало координат) наименьший объем имеет та, у которой P есть точка пересечения медиан граней ABC.
     

  2. а) Решите систему

    3. б) Изобразите на плоскости множество всех точек с координатами (p, q), таких что уравнение
    x2+ px + q = 0 имеет единственный корень на интервале (-p, p).

    в) Найдите все значения b, при которых уравнение

    имеет решение.

    г) Какое наибольшее число решений может иметь система

  3. Известно, что


    4. а) Докажите, что функция  f - периодическая;

    б) Может ли она быть непрерывной на всей числовой оси?