Вступительные экзамены на матмех и ПМ-ПУ в 2000 г. по математике.
Решение задач первого варианта

Задача 1.
ОДЗ: . Рассмотрим функцию . Искомое уравнение примет вид  f(x) = a.
Так как , то при a>3 уравнение решений не имеет.
Если a = 3, то единственным решением является x = 0.
Если , то ОДЗ состоит из двух отрезков: [-3,0] и [a,3]. На первом отрезке функция  f(x) возрастает от   до  f(0) = 3. Следовательно, уравнение  f(x) = a имеет на [-3,0] единственное решение. На втором отрезке [a,3] функция убывает от  до . Следовательно, уравнение имеет на [a,3] решение, если

и это решение единственно.
Если a = 0, то исходное уравнение имеет два решения: .
Если a < 0, то ОДЗ состоит из отрезков [0,3] и, в случае, когда , [-3,a]. На отрезке [0,3] функция  f(x) убывает от  f(0) до  f(3), а на отрезке [-3,a] она возрастает от  f(-3) до  f(a). (Если a = -3, то отрезок [-3,a] вырождается в точку -3, которая не является корнем уравнения).
Следовательно, при a < 0 исходное уравнение имеет два решения, если
.
Объединяя результаты, приходим к окончательному ответу.

Задача 2.

ОДЗ:  и .
1) Если , то . Отсюда получим .
При этом, чтобы выполнялось условие , следует считать k=0,1,2, ... . Условие отбрасывает те значения, которые не входят в ОДЗ.
2) Если , то . Отсюда получаем . Но ни одно из этих значений не входит в ОДЗ.

Задача 3.

ОДЗ: . При x, принадлежащих ОДЗ, исходное неравенство равносильно неравенству .
Применяя метод интервалов, приходим к ответу.

Задача 4.

Пусть сторона BC пересекает внутреннюю окружность, K - точка касания на AB и. Тогда отношение радиуса r  внутренней окружности к радиусу R внешней окружности равно .
Обозначим через D точку пересечения прямой AO со стороной BC. Так как OM = ON = r, то . Поэтому . Точка D может оказаться как вне отрезка OA, так и внутри его.  В случае, если , точки O и D совпадают. В любом из рассматриваемых случаев .
С другой стороны,
. Следовательно, .
Учитывая, что , получаем

Отсюда, учитывая, что  - острый угол, имеем
.

Задача 5.
Так как CA = CB = CM = CN = 1, то точки A, B, M, N лежат на сфере с центром C радиуса 1. Поэтому четырехугольник с вершинами в этих точках вписан в окружность, являющуюся пересечением этой сферы со сферой, на которой лежат все вершины обеих пирамид.
Согласно условию, треугольник ABC - правильный со стороной 1 и MA = MB. Поэтому и MN является диаметром окружности. Таким образом, ,  и, следовательно, .