Некоторые сведения из нелинейной динамики

Приведем, следуя Г. Шустеру [3], краткий обзор определений, результатов и методов нелинейной механики, используемых далее при анализе предельного поведения итерационных схем.

Пусть мы имеем уравнение

$$x_m=f(x_{m-1}),\qquad m=1,2,\ldots$$ (1)

Далее для определенности будем считать, что $x\in [0,1]$ , $f(x)\in [0,1]$ . В этом случаеговорят, что $f(x)$ отображает отрезок $[0,1]$ в себя. Последовательность $\{x_0,x_1,\ldots\}$ , где $x_m=f(x_{m-1})$ , называется траекторией, исходящей из точки $x_0$ . Основной задачей нелинейной динамики является описание множеств в фазовом пространстве, в которые попадают траектории динамической системы при неограниченном возрастании времени. Если какие-то траектории притягиваются к некоторому множеству, оно называется аттрактором. Известны следующие типы аттракторов:  стационарная притягивающая точка, предельный цикл и хаотический аттрактор. Стационарные притягивающие точки содержатся в множестве решений уравнения $f(x)=x$ , т. е. в множестве неподвижных при отображении (1) точек. Точки предельного цикла периода $n$ находятся среди решений уравнения $f^n(x)=x$ , где $f^n(x)$ обозначает $n$ -ю итерацию операции $f(x)$ :

$$f^n(x)=\underbrace{f(f(f(\cdots f(}_{n\ \textit{\scriptsize раз}}x)\cdots ))),$$

(например, $f^1(x)=f(x)$ , $f^2(x)=f(f(x))$ и т. д.), -- т.е. эти точки суть неподвижные точки для$f^n(x)$ . Таким образом, стационарная притягивающая точка --предельный цикл с периодом, равным единице.

Пусть $Q_n=(x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)$ -- неподвижные точки уравнения $f^n(x)=x$ . Они образуют предельный цикл периода $n$ , если мультипликатор $f^\prime (x^0_1)\,f^\prime (x^0_2)\cdots f^\prime (x^0_n)$ по модулю меньше единицы:

$$\vert f^\prime (x^0_1)\,f^\prime (x^0_2)\cdots f^\prime (x^0_n)\vert<1.$$ (2)

В противном случае цикл локально неустойчив. Очевидно, если $z=f(y)$ , где $y\in Q_n$ , то и $z\in Q_n$ .

Если $f(x)$ отображает некоторый отрезок $[0,1]$ в себя и имеет нанем единственный максимум, причем $f(x)$ по обе стороны максимума монотонна(унимодальна), то у динамической системы $x_{m+1}=f(x_m)$ может появиться свойство самоподобия -- каскад бифуркаций Фейгенбаума. Именно, если $f(x)$ зависит от некоторого параметра $r$ :$\ f(x)=g(x,r)$ , -- то может существовать бесконечная последовательность значений параметра $r$ (упорядоченная по возрастанию или убыванию $r$ ):$r_0$ , $r_1$ , $\ldots$ , $r_n$ , $\ldots$ , -- такая, что в интервалах$(r_n,r_{n+1})$ динамическая система $x_{m+1}=g(x_m,r)$ имеет предельный цикл периода $2^n$ ипри этом последовательность $\{r_i\}$ имеет точку сгущения $r_\infty$ , определяемую соотношением

$$r_n=r_\infty+\textrm{const}\cdot \delta ^{-n},\quad n\to\infty,$$ (3)

где $\delta$ -- константа Фейгенбаума, $\delta=$ 4,669201$\ldots \,.$ Необходимым условием существования бесконечного каскада бифуркаций такого типа является отрицательность производной Шварца на всем интервале $[a,b]$ :

$${\cal S}\{f\}\equiv \frac{f^{\prime\prime\prime}}{ f^\prime}-\frac{3}{2}\left( \frac{f^{\prime\prime}}{f^\prime}\right)^2<0,$$ (4)

где штрихами (как в (2) и далее) отмечено дифференцирование.

При $r=r_\infty$ динамическая система может иметь хаотический аттрактор, когда независимо от начального значения $x$ (при $m=0$ ) предельное (при$m\to\infty$ ) положение точки $f^m(x_0)$ мы можем указать только с вероятностью $\int^{\beta _0}_{\alpha _0}\rho (x)\,dx$ попадания ее в интервал $[\alpha _0,\beta _0]$ . Если $\rho (x)$ не зависит от числа итераций $n$ , то функция $\rho (x)$ называется плотностью инвариантной меры.

Переход к хаосу через каскад удвоения периода называется мягкимпереходом .

При других значениях $r$ картина может быть еще сложнее.

Хаусдорфова размерность $\cal D$ хаотического аттрактора, какправило, не является целым числом. Она определяется по формуле

$${\cal D}=-\lim _{l\to 0}\frac{\ln N(l)}{\ln l} \,,$$ (5)

где $N(l)$ -- число интервалов, в которые попадают точки аттрактора при разбиении$[0,1]$ на отрезки длины $l$ . Аналитически размерность Хаусдорфа вычисляется только для очень специальных множеств (типа Канторова множества или ковра Серпинского). Дробное ее значение сигнализирует о "странности" аттрактора.

Как пишет Г. Шустер [3], "настоящая первопричина нерегулярности определяется свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства", так что "становится практически невозможно предсказать длительное поведение таких систем, поскольку реально начальные условия можно задать лишь с конечной точностью, а ошибки экспоненциально возрастают." Степень экспоненциального разбегания характеризуется показателем Ляпунова $\lambda (x_0)$ , вычисляемым по формуле

$$\lambda (x_0)=\lim _{N\to \infty }\ \lim _{\varepsilon \to 0}... ...rac{f^N(x_0+\varepsilon )-f^N(x_0)}{\varepsilon } }\right\vert=$$

$$=\lim _{N\to \infty }{\frac{1}{N}}\ln \left\vert{\frac{df^N(x_0)}{dx_0}}\right\vert\,.$$

Отсюда следует, что близкие к $x_0$ в начальный момент на величину $\varepsilon$ точки фазового пространства после $N$ шагов итерации экспоненциально разойдутся:

$$\varepsilon e^{N\lambda (x_0)}\approx \left\vert f^N(x_0+\varepsilon )-f^N(x_0)\right\vert,\quad N>>1.$$

Так как по правилу дифференцирования суперпозиции двух функций

$${\frac{df^2(x)}{dx}}={\frac{df(f(x))}{dx}} =f'(f(x))f'(x)=f'(x_1)f'(x),\quad x_1\equiv f(x),$$

топоказатель Ляпунова может быть вычислен по формуле

$$\lambda (x_0)=\lim _{N\to \infty }{\frac{1}{N}}\ln \bigl\vert... ... \infty }{\frac{1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\ln \vert f'(x_n)\vert,$$ (6)

$x_n\equiv f(x_{n-1})$ .

Положительность показателя Ляпунова сигнализирует о наличии хаотической компоненты в аттракторе.

Отметим также теорему Шарковского [4]. Упорядочим натуральные числа следующим образом:

$$3\prec 5\prec 7 \prec \ldots \prec 3\cdot 2\prec 5\cdot 2 \prec 7\cdot 2\prec \ldots$$

$$\prec 3\cdot 2^2\prec 5\cdot 2^2\prec 7 \cdot 2^2\prec \ldots \prec 3\cdot 2^3 \prec 5\cdot 2^3\prec 7\cdot 2^3\prec\ldots$$ (7)

$$\prec 2^\infty \prec \ldots \prec2^3\prec 2^2\prec 2\prec 1\,.$$

Каждому $n$ из этой последовательности соответствует цикл периода $n$ (не обязательно устойчивый). Если $f(x)$ имеет цикл периода $n$ , то $f(x)$ имеет все циклы, периоды которых расположены правее $n$ в последовательности (7). В частности, если у $f(x)$ есть цикл периода 3 (есть решения уравнения$f(f(f(x)))=x$ ), то у $f(x)$ есть циклы всех периодов.

Остановимся на процедуре вычисления плотности инвариантной меры. За одну итерацию точка $x$ переходит в $f(x)$ , и поэтому любая функция $F(x)$ за одну итерацию переходит в функцию (напоминаем, что мы ограничились отрезком $[0,1]$ как интервалом изменения переменной и функции)

$$\int _0^1\delta (y-f(x))\,F(x)\,dx,$$ (8)

где $\delta (x)$ -- $\delta$ -функция, равная нулю при $x\not =0$ и бесконечности при $x=0$ и при интегрировании с функциями $F(x)$ из достаточно широкого класса действующая по формуле

$$\int _a^bF(x)\,\delta (x-y)\,dx=\cases {F(y)\quad {\textit{пр... ...\quad y=a, y=b,\cr 0\quad \textit{при}\quad y\notin [a,b].\cr}$$ (9)

Так как, по определению, плотность инвариантной меры $\rho (x)$ при итерациине меняется, то при $F(x)=\rho (x)$ в (8) имеем

$$\rho (y)=\int _0^1\delta (y-f(x))\,\rho (x)\,dx.$$ (10)

Таким образом, $\rho (x)$ удовлетворяет уравнению (10), которое называется уравнением Фробениуса - Перрона. В главе 8 мы вернемся к выводу этого уравнения и покажем, что итерационную схему (1) можно рассматривать как стационарный марковский процесс с дискретным временем и плотностью вероятности перехода $\delta (y-f(x))$ (простейший детерминированный марковский процесс).

Естественно считать плотность $\rho (x)$ не существующей, если $\rho (x)=0$ во всем интервале изменения $x$ (т.е. в $[0,1]$ ).

Рассмотрим примеры решения уравнения Фробениуса - Перрона.

П р и м е р 1. Ответим на вопрос, существует ли плотность инвариантной меры для линейной функции $f(x)$ , т.е. когда

$$f(x)=ax+b,\quad 0\leq a+b\leq 1,\quad 0\leq b\leq 1$$ (11)

(неравенства в (11) обеспечивают принадлежность $f(x)$ интервалу$[0,1]$ при$x\in [0,1]$ ).

В соответствии с определением (9) $\delta$ -функции уравнение (10) дл$f(x)$ в виде (11) превращается в функциональное уравнение

$$\rho (y)={\frac{1}{a}}\rho ({\frac{y-b}{a}}),\quad 0\leq \vert{\frac{y-b}{a}}\vert\leq 1.$$ (12)

Полагая $(y-b)/a=x$ , имеем (12) в более удобной форме:

$$\rho (x)=a\rho (ax+b),\quad 0\leq x\leq 1.$$ (13)

Ищем решение уравнения (13) в классе непрерывных функций, полезных возможностью переходить к пределу под знаком функции. Воспользуемся методом последовательных подстановок [5, с.31-33]. Именно, положим в (13) $x=az+b$ и переобозначим после этого $z$ через $x$ . Мы получаем

$$\rho (ax+b)=a\rho (a^2x+ab+b).$$ (14)

Подставив (14) в правую часть (13), будем иметь

$$\rho (x)=a^2\rho (a^2x+ab+b).$$ (15)

Аналогичным образом, заменив в (14) снова $x$ на $ax+b$ и подставив результат в (15), находим

$$\rho (x)=a^3\rho (a^3x+a^2b+ab+b).$$

Продолжая процесс далее, на $n$ -ом шаге получаем

$$\rho (x)=a^n\rho \bigl(a^nx+b\sum _{k=0}^{n-1}a^k\bigr).$$ (16)

Переходя к пределу в (16) при $n\to \infty$ , убеждаемся в том, что$\rho (x)=0$ при $0<a<1$ для всех $x\in [0,1]$ , т.е. плотность инвариантной меры не существует. В случае $a=1$ в силу (11) обязательно $b=0$ , так что $f(x)=x$ ,но это тождественное преобразование отрезка $[0,1]$ в себя не интересно.

Итак, линейное преобразование не имеет плотности инвариантной меры (оно при итерировании и не хаотизируется).

П р и м е р 2. Рассмотрим так называемое треугольное преобразование отрезка $[0,1]$ в себя:

$$f(x)=\cases {2rx,\quad 0\leq x\leq 1/2,\cr 2r(1-x),\quad 1/2\leq x\leq 1,\cr}$$ (17)

причем $0<r\leq 1$ . Уравнение Фробениуса - Перрона (10), как нетрудно вывести из свойств $\delta$ -функции, превратится в функциональное уравнение

$$\rho (x)=\frac{1}{2r}\rho \left({x\over 2r}\right)+\frac{1}{2r}\rho \left(1- \frac{x}{2r}\right),\quad 0<x<1.$$ (18)

Ищем его решение в виде ряда по степеням $x$ :

$$\rho (x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_nx^n.$$ (19)

Подставив (19) в (18), получаем

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_nP_n(x)=0,$$ (20)

где

$$P_n(x)=x^n[2r-(2r)^{-n}]-(1-x/2r)^n,\quad n=0,1,2,\ldots ,$$ (21)

-- полином степени $n$ . Вся совокупность полиномов $\{P_n(x)\}$ обращается в нуль не более чем в счетном множестве точек, т.е. $P_n(x)$ -- линейно независимые функции (образуют чебышевскую систему). Отсюда следует, что все $a_n$ в (20) нули, так что плотность инвариантной меры при$0<r<1$ в классе функций, представимых степенными рядами (19), не существует.

В случае $r=1$ видим, что в (21) $P_0(x)\equiv 0$ , и поэтому $a_0$ может быть произвольной константой. Все прочие $P_n(x)$ образуют чебышевскую систему, так что равенство (20) для произвольных $x$ возможно только при$a_n=0$ , $n\geq 1$ . Таким образом, для треугольного преобразования плотность инвариантной меры $\rho (x)$ существует только при $r=1$ и равна константе $a_0$ , которую выбираем из условия нормировки:

$$\int _0^1\rho (x)\,dx=1,$$ (22)

т.е. $\rho (x)=1$ .

П р и м е р 3. Покажем теперь, что плотность инвариантной меры может отличаться от константы. Рассмотрим логистическое отображение отрезка $[0,1]$ в себя:

$$f(x)=4r\cdot x(1-x).$$ (23)

Оно введено в 1845 г. П. Ф. Ферхюльстом для описания динамики популяции взамкнутой среде. Здесь $f(x)$ -- численность особей в рассматриваемый год, которая пропорциональна численности особей $x$ в предыдущий год и свободной части $1-x$ жизненного пространства. Параметр $r$ зависит от плодовитости, жизненных ресурсов и т.д. [3].

Это же отображение описывает ситуацию с ценообразованием на замкнутом рынке,где $f(x)$ -- цена всех продаж в день, пропорциональная цене всех продаж за предыдущий день и сумме денег $1-x$ , оставшихся у покупателей накануне (за единицу принята вся совокупность денег, могущая быть истраченной на рынке).

Чтобы $f(x)\in [0,1]$ , параметр $r$ в (23) должен удовлетворять условию

$$0<r\leq 1,$$ (24)

так как максимум $f(x)$ достигается в точке $x=1/2$ и равен $r$ .

Итерационная схема (1) с функцией (23) изучена хорошо. При $n\to \infty$ она демонстрирует мягкий переход к хаосу в случае увеличения $r$ до некоторой точки сгущения $r_{\infty}<1$ [3].

Уравнение Фробениуса - Перрона (10) для функции (23) имеет вид

$$\rho (y)=\int _0^1\delta (y-4rx(1-x))\,\rho (x)\,dx.$$ (25)

Перейдем в нем к новой переменной интегрирования $z=4rx(1-x)$ , так что

$$2x=\cases {1-\sqrt{1-z/r}\quad \textit{при}\quad 0\leq x\leq ... ...\cr 1+\sqrt{1-z/r}\quad \textit{при}\quad 1/2\leq x\leq 1.\cr}$$ (26)

Вещественное значение обратной к (23) функции (25) во всем интервале $[0,1]$ существует только при $r=1$ . Этой величиной $r$ и ограничимся. Полагая в(25)-(26) $r=1$ и заменяя $x$ в (25) на правую часть (26), получаем

$$\rho (y)=\int _0^1\delta (y-z)\,[\rho (1/2-\sqrt{1-z}/2)+\rho (1/2+\sqrt{1-z}/2)]\, {\frac{dz}{4\sqrt {1-z}}}\,.$$

Используя определение (9) $\delta$ -функции, находим отсюда функциональное уравнение

$$\rho (y)={\frac{1}{4\sqrt {1-y}}}[\rho (1/2-\sqrt{1-y}/2)+\rho (1/2+\sqrt{1-y}/2)].$$ (27)

Если сделать в (27) замену $y=1-x$ , то получим уравнение

$$\rho (1-x)={\frac{1}{4\sqrt {x}}}[\rho (1/2-\sqrt{x}/2)+\rho (1/2+\sqrt{x}/2)].$$ (28)

Уравнения (27)-(28) показывают, что в точках $x=0$ и $x=1$ функция $\rho (x)$ может обращаться в бесконечность (если $\rho (1/2)\not =0$ ). Поэтому ищем решение в (27) в виде

$$\rho (y)=\frac{1}{2\sqrt{y(1-y)}} \sum _{n=0}^{\infty }a_n[4y(1-y)]^n.$$ (29)

Так как

$$\rho (1/2\pm \sqrt {1-y}/2)=\sum _{n=0}^{\infty }a_ny^{n-1/2},$$

то из (27) имеем

$$\sum _{n=1}^{\infty}a_n\{[4y(1-y)]^n-y^n\}=0$$ (30)

(множитель при $a_0$ обращается в нуль).Поскольку $P_n(y)=[4y(1-y)]^n-y^n$ --полином степени $n$ , то $\{P_n(y)\}_{n=1}^{\infty }$ -- чебышевская система и, следовательно, равенство (30) справедливо для произвольных $y$ тогда и только тогда, когда все $a_n$ нули при $n\geq 1$ . Таким образом, отлична от нуля в (29) только константа $a_0$ , которая вследствие нормированности функции $\rho (x)$ (см. (22)) равна $2/\pi$ . В итоге,

$$\rho (x)={\frac{1}{\pi \,\sqrt {x(1-x)}}}.$$

З а м е ч а н и е. Итерационные схемы типа (1) лежат в основе вычислительной математики. Поэтому обнаружение хаотических аттракторов у самых простых нелинейных отображений ограничивает сферу применимости вычислительных методов.

Возьмем, к примеру, одну из простейших вычислительных процедур -- отыскание вещественных корней функции действительного переменного$F(x)$ по методу Ньютона:

$$x_{m+1}=x_m-F(x_m)/F^\prime (x_m)\,,\quad m=0,1,\ldots$$ (31)

(Равенство (31) получается из

$$0=F(x_{m+1})\approx F(x_m)+F^\prime (x_m)(x_{m+1}-x_m)\,.)$$

Выберем $F(x)$ так, чтобы правая часть (31) имела вид $f(x_m)=4rx_m(1-x_m)$ , $x_m\in [0,1]$ , т.е. чтобы (31) представляло собойлогистическое отображение (23). Полагая $x_m=x$ и интегрируя дифференциальное уравнение

$$x-F(x)/F^\prime (x)=4rx(1-x),$$

без труда находим, что с точностью до постоянного множител

$$F(x)=\vert x/(1-4r+4rx)\vert^{1/(1-4r)}.$$ (32)

Из (32) видим, что при $0<r<1/4$ уравнение $F(x)=0$ имеет единственный корень $x=0$ , а при $r>1/4$ -- единственный корень $x_0=1-1/4r$ . В тоже время итерационная процедура для логистического отображения, сходясь при$0<r<3/4$ к упомянутым корням, при $r=1$ хаотизируется (как мы видели впримере 3), какое бы начальное приближение мы ни взяли, а корень$x_0=3/4$ может появиться среди результатов вычислений лишь случайно (если итерации начинаются с $x_0$ ). Тем самым вычислительная процедура даже в методе Ньютона может породить такие "интересные физические" эффекты, которых в реальной природе нет.

О хаотизации других вычислительных процедур расскажем в конце § 3.