Прием-2005. Задачи, предложенные  на вступительном экзамене по математике, дневное отделение (7 июля)

Первый вариант

1. Найти первый член конечной арифметической прогрессии, состоящей из десяти членов, такой, что после вычеркивания одного из них сумма оставшихся равна 18, сумма всех членов, находящихся перед вычеркнутым, равна 7, а вычеркнутый член меньше 2.
2. Решить неравенство
   
3. Решить уравнение
   
4. Медиана AM треугольникм ABC пересекает вписанную в него окружность, радиус которой равен r, в точках P и Q. Найти площадь треугольника, если известно, что хорда PQ в два раза длинее каждого из отрезков AP и MQ.
5. К сфере, вписанной в треугольную пирамиду, проведены касательные плоскости, параллельные граням пирамиды. Вокруг четырех пирамид, отсекаемых этими плоскостями от исходной пирамиды, описаны сферы. Радиусы трех из них равны 10. Найти радиус четвертой сферы, если известно, что радиус описанной сферы исходной пирамиды равен 19.

Второй вариант

1. Найти первый член конечной арифметической прогрессии, состоящей из одиннадцати членов, такой, что после вычеркивания одного из них сумма оставшихся равна 10, сумма всех членов, находящихся перед вычеркнутым, равна 7, а вычеркнутый член меньше 1.
2. Решить неравенство
   
3. Решить уравнение
   
4. Медиана BD треугольникм ABC пересекает вписанную в него окружность, радиус которой равен r, в точках M и N. Найти радиус описанной окружности треугольника, если известно, что хорда MN в равна каждому из отрезков BM и ND.
5. Радиус сферы, вписанной в треугольную пирамиду, равен 17. К этой сфере проведены касательные плоскости, параллельные граням пирамиды. В четыре пирамиды, отсекаемые этими плоскостями от исходной пирамиды, вписаны сферы. Радиусы трех из них равны 8. Найти радиус четвертой сферы.